《垂直于弦的直径》圆PPT优秀课件

人教版九年级数学上册《垂直于弦的直径》圆PPT优秀课件，共31页。

素养目标

1. 进一步认识圆，了解圆是轴对称图形.

2. 理解垂直于弦的直径的性质和推论，并能应用它解决一些简单的计算、证明和作图问题.    

3. 灵活运用垂径定理解决有关圆的问题. 

探究新知

圆的轴对称性

圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴．

已知：在⊙O中，CD是直径，  AB是弦， CD⊥AB，垂足为E．

证明：连结OA、OB.

则OA＝OB．

又∵CD⊥AB，

∴直径CD所在的直线是AB的垂直平分线.

∴对于圆上任意一点，在圆上都有关于直线CD的对称点，即⊙O关于直线CD对称.

圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴.

垂径定理及其推论

如图，AB是⊙O的一条弦, 直径CD⊥AB, 垂足为E.你能发现图中有哪些相等的线段和劣弧? 为什么?

把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，点A与点B重合，AE与BE重合，AC和BC,AD与BD重合．

垂径定理

垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.

推导格式：

∵ CD是直径，CD⊥AB，

∴ AE=BE, AC =BC,AD =BD.

 【思考】如果把垂径定理（垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧）结论与题设交换一条，命题是真命题吗？

①过圆心 ；②垂直于弦； ③平分弦；④平分弦所对的优弧 ； ⑤平分弦所对的劣弧.

上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论吗？

归纳总结

垂径定理的推论

平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.

垂径定理及其推论的计算

例1  如图，OE⊥AB于E，若⊙O的半径为10cm,

OE=6cm,则AB= _____ cm.

如图， ⊙ O的弦AB＝8cm ，直径CE⊥AB于D，DC＝2cm，求半径OC的长.

解：连接OA，∵ CE⊥AB于D，

设OC=x cm，则OD= x-2,根据勾股定理，得x2=42+(x-2)2，

解得  x=5，即半径OC的长为5cm.

利用垂径定理及推论证明相等

例2  已知：⊙O中弦AB∥CD,

求证：AC＝BD.

证明：作直径MN⊥AB.

∵AB∥CD，∴MN⊥CD.

则AM＝BM，CM＝DM（垂直于弦的直径平分弦所对的弧）

AM－CM＝BM－DM.

∴AC＝BD.

归纳总结

解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的弦心距（垂线段），或作垂直于弦的直径，连结半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件.

课堂小结

垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧

一条直线满足:①过圆心;②垂直于弦; ③平分弦（不是直径）; ④平分弦所对的优弧;⑤平分弦所对的劣弧. “知二推三”

两条辅助线：

连半径，作弦心距

构造Rt△利用勾股定理计算或建立方程.

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