《实际问题与二次函数》二次函数PPT免费课件(第3课时)

人教版九年级数学上册《实际问题与二次函数》二次函数PPT免费课件(第3课时)，共32页。

素养目标

1.掌握二次函数模型的建立，会把实际问题转化为二次函数问题． 

2.利用二次函数解决拱桥及运动中的有关问题．

3.能运用二次函数的图象与性质进行决策．

探究新知

建立平面直角坐标系解答抛物线形问题

如图，一座拱桥的纵截面是抛物线的一部分，拱桥的跨度是4.9米，水面宽是4米时，拱顶离水面2米.现在想了解水面宽度变化时，拱顶离水面的高度怎样变化．你能想出办法来吗？

怎样建立直角坐标系比较简单呢？

以拱顶为原点，抛物线的对称轴为y轴，建立直角坐标系，如图．

从图看出，什么形式的二次函数，它的图象是这条抛物线呢？

由于顶点坐标系是（0.0），因此这个二次函数的形式为y=ax²

建立坐标系解答生活中的抛物线形问题

例1  图中是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2m，水面宽4m，水面下降1m时，水面宽度增加了多少？

解法一: 如图所示以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为y轴，建立平面直角坐标系.

∴可设这条抛物线所表示的二次函数的解析式为y=ax2.

当拱桥离水面2m时,水面宽4m.

即抛物线过点(2,-2),

∴-2=a×22,

∴a=-0.5.

∴这条抛物线所表示的二次函数为y=-0.5x2 .

当水面下降1m时,水面的纵坐标为y=-3,这时有-3=-0.5x², 解得x=±√("6" )，这时水面宽度为2√("6" ) m,

因此当水面下降1m时,水面宽度增加了(2√("6" ) -4 ) m.

解法二: 如图所示,以抛物线和水面的两个交点的连线为x轴，以抛物线的对称轴为y轴，建立平面直角坐标系.

此时,抛物线的顶点为(0,2)

因此可设这条抛物线所表示的二次函数的解析式为:y=ax²+2.

当拱桥离水面2m时,水面宽4m,

即:抛物线过点(2,0),0=a×22+2，a=-0.5.

因此这条抛物线所表示的二次函数为:y=-0.5x²+2.

当水面下降1m时,水面的纵坐标为y=-1,这时有:-1=-0.5x²+2  解得x=±√("6" )，这时水面宽度为2 √("6" )m.

因此当水面下降1m时,水面宽度增加了(2 √("6" )-4)m.

解法三:如图所示,以抛物线和水面的两个交点的连线为x轴，以其中的一个交点(如左边的点)为原点，建立平面直角坐标系.

此时,抛物线的顶点为(2,2).

因此可设这条抛物线所表示的二次函数的解析式为y=a(x-2)²+2.

∵抛物线过点(0,0),

∴0=a×(-2)²+2.

∴a=-0.5.

因此这条抛物线所表示的二次函数为y=-0.5(x-2) ²+2.

当水面下降1m时,水面的纵坐标为y=-1,

这时有-1=-0.5(x-2)2+2，解得x1=2- √("6" ) ，  x2=2+√("6" )

这时水面的宽度为x2-x1=2√("6" )，

因此当水面下降1m时,水面宽度增加了(2√("6" )-4)m.

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